Le premier Théâtre des Arts est construit par l'architecte François Guéroult entre 1774 et 1776. Il occupe alors un terrain situé à l'emplacement des rues Grand-Pont et Charrettes actuelles. Celui-ci est inauguré le 29 juin 1776 avec Le Cid de Corneille. Le théâtre est détruit par un incendie le 25 avril 1876.

Un bâtiment neuf est construit sur les plans de l'architecte Louis Sauvageot. Il est inauguré en 1882 sur les ruines du précédent. Il brûle à nouveau, partiellement, dans l'incendie du quartier au moment de la prise de la ville par l'armée allemande le 9 juin 1940. Les représentations continuèrent pendant la guerre jusqu'à son entière destruction par le bombardement américain du 10 juin 1944, pendant le tour de chant de Cécile Sorel.

La ville de Rouen décide la démolition totale et définitive du théâtre Sauvageot et sa reconstruction au bas de la rue Jeanne-d'Arc rive droite. La reconstruction d'un nouveau théâtre doit attendre la signature de la convention des « dommages de guerre » pour que commencent les études. Construit entre 1952 et 1962 à un emplacement différent assuré par les architectes Jean Maillard et Robert Levasseur, en collaboration avec le scénographe Pierre Sonrel et l'entreprise Lanfry. Interrompus en 1954 à cause des réductions de crédits, les travaux ne reprennent qu'en 1958. Le projet d'origine est toutefois considérablement modifié : les plans sont revus et voient la suppression d'une grande salle de musique de 500 places au-dessus du foyer. L'inauguration a lieu le 11 décembre 1962 en présence du maire Bernard Tissot et de son adjoint aux Beaux-Arts le docteur Rambert. Le hall et la grande salle sont alors ornés de lustres et d'appliques dus à Gilbert Poillerat.

Sur le parvis se trouve depuis 1962 la statue en bronze de Corneille par David d'Angers. Jusqu'à la Seconde Guerre mondiale, cette œuvre se trouvait à l'extrémité de l'île Lacroix, au pied du pont Corneille. C'est une des seules statues de bronze de la ville avec celles de Napoléon et de Jean-Baptiste de La Salle de Falguière à n'avoir pas été fondue par les nazis pendant la seconde guerre pour en récupérer le métal. En effet, le palan, destiné à enlever l'œuvre de son emplacement initial, a cédé et la statue est tombée dans la vase au pied du pont. On l'a découpée pour l'évacuer, puis remontée, mais le camion destiné à l'emmener est tombé en panne. La fin de la guerre est arrivée, ne nécessitant plus son transfert.

Jean Lecanuet inaugure le théâtre des Arts rénové en 1993.

En 2012, l'Opéra de Rouen Normandie célèbre le cinquantenaire de la construction du bâtiment. À cette occasion, un appel à témoin est lancé afin de récolter des archives (images, films, programmes…).